Преобразование Аналог – Цифра. Как это работает?

Современные цифровые устройства для познания нашего аналогового мира используют аналого-цифровые преобразователи. О том, как это работает, я расскажу в этой статье.

Если непрерывный сигнал необходимо представить в цифровой форме, то аналоговую входную величину нужно преобразовать в соответствующее число. Эту задачу выполняет аналого-цифровой преобразователь (АЦП или ADC).

Теория

Давайте рассмотрим задачу, стоящую в преобразование сигнала. Для наглядности будем сравнивать наш некоторый аналоговый сигнал, пусть он выглядит вот так:

и синусоидальный, который выглядит вот так:

Математическая функция, которая описывает синусоидальный сигнал:

Амплитуда — максимальное значение, которое принимает сигнал.
Угловая частота — скорость изменения фазы сигнала.
f — обычная частота сигнала, связанная с угловой следующим образом: .

S(t) – это некоторая математическая функция, которая описывает наш сигнал. Для неё нельзя подобрать простую популярную функцию, как для синусоидального сигнала. Поэтому оставим просто S(t). Однако в математике доказано, что почти любую функцию можно представить в виде суммы синусоидальных (sin и cos) сигналов, но с разными амплитудами и угловыми частотами. И чем сложнее функция, тем больше синусоидальных сигналов надо. В итоге получим:

Синусы и косинусы в этой сумме называют гармониками сигнала S(t) и они представляют собой спектр сигнала S(t), а саму сумму называют рядом Фурье. Это фундамент спектрального анализа, который широко применяется в современной технике. Спектр сигнала (набор sin и cos) удобно изображать в виде графика, например для синусоидального:

(зеркальная часть появляется только лишь из-за математических преобразований, физического смысла в этом нет никакого)
И для нашего сигнала:

Процедура аналого-цифрового преобразования непрерывных сигналов, которую реализуют с помощью АЦП, представляет собой преобразование непрерывной функции времени S(t), описывающей наш сигнал, в последовательность чисел S1,S2,S3,S4…, отнесённых к некоторым фиксированным моментам времени. Эту процедуру можно разделить на две самостоятельные операции. Первая из них называется дискретизацией и состоит в преобразовании непрерывной функции времени S(t) в непрерывную последовательность S1,S2,S3,S4…. Вторая называется квантованием и состоит в преобразовании непрерывной последовательности в дискретную S1*, S2*, S3*, S4*…

В основе дискретизации непрерывных сигналов лежит теорема отсчётов (Теорема Уиттакера — Найквиста — Котельникова — Шеннона):

Если существует сигнал S(t), спектр которого не содержит частоты выше fmax, то он может быть полностью восстановлен, если известны отсчётные значения S(t), взятые через равные промежутки времени:
<img src="http://mathurl.com/render.cgi?T%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2f_%7Bmax%7D%7D%5Cnocache" alt="Tд=1/2*fmax"/>

Согласно этой теореме для представления аналогового сигнала в цифровом виде нам нужны отсчёты. Но тут проблема: реальные сигналы имеют бесконечный спектр и у реальных сигналов нет . В данном случае нужно обрезать спектр сигнала при помощи фильтра, таким образом мы искусственно создаём . Обычно берётся в таком месте спектра, где уровень амплитуд гармоник не превышает 10% от максимального значения. называют верхней частотой спектра. Также уместно говорить о – верхней угловой частоте спектра.

Применение дискретизации для нашего сигнала приводит к возникновению в системах обработки информации специфических высокочастотных искажений, обусловленных выборкой. Для уменьшения этих искажений необходимо либо увеличивать частоту дискретизации, либо брать больше. Однако, при этом увеличивается и информационная ёмкость сигнала. Часто это бывает лишним, и в любой практической задаче следует искать «золотую середину».

В конечном счёте нашему аналоговому сигналу будет соответствовать набор отсчётов, из которых сигнал может быть восстановлен вот так:

При квантовании сигнала также происходит потеря информации из-за конечного набора уровней сигнала, которые также влияют на информационную ёмкость оцифрованного сигнала.

Резюме:

1. Сигналы можно изучать как во временной области, так и в частотной (спектр).
2. Чтобы из аналогового сигнала получить цифровой, нужно сначала его дискретизировать, а потом квантовать.
3. Для дискретизации сигнала нужно ограничить его спектр.
4. Следует оптимально выбирать частоту дискретизации и количество уровней квантования.
5. При дискретизации мы постоянно округляем аналоговое значение до ближайшего цифрового и в итоге имеем ошибки — шум дискретизации.

К примеру при разработке стандарта аудио компакт дисков были приняты значения 44 кГц, 16 бит. Здесь 44кГц – частота дискретизации (в идеале воспроизводятся все частоты до 22.05 кГц, хотя всё зависит от конкретной техники), а 16 бит – это разрядность квантователя, который имеет 2^16 уровней = 65536 значений.

Технические характеристики АЦП:

Статические

Разрешающая способность — величина, обратная максимальному числу кодовых комбинаций на выходе АЦП. Разрешающая способность выражается в процентах, разрядах или децибелах и характеризует потенциальные возможности АЦП с точки зрения достижимой точности. Например, 12-разрядный АЦП имеет разрешающую способность 1/4096, или 0,0245% от полной шкалы.

Погрешность смещения нуля — значение входного сигнала, при котором выходной код АЦП равен нулю.

Погрешность полной шкалы — относительная разность между реальным и идеальным значениями предела шкалы преобразования при отсутствии смещения нуля.

Нелинейность — максимальное отклонение реальной характеристики преобразования D(U(t)) от оптимальной

Динамические

Максимальная частота дискретизации — это наибольшая частота, с которой происходит образование выборочных значений сигнала, при которой выбранный параметр АЦП не выходит за заданные пределы. Измеряется числом выборок в секунду.

Время преобразования — это время, отсчитываемое от начала импульса дискретизации или начала преобразования до появления на выходе устойчивого кода, соответствующего данной выборке.

Практика

Классическая схема параллельного аналого-цифрового преобразования в упрощённом виде выглядит так:

Резисторами делится опорное напряжение в равных пропорциях. Отсчёты аналогового сигнала и части опорного напряжения подаются на компараторы, где происходит их сравнение. В случае совпадения на выходе компаратора имеем логическую единицу. Таким образом, получается код, который шифратор преобразует в необходимый формат.

Что почитать?

• Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы.
• Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы.
• Kester Walt. The Data Conversion Handbook.

P.S. В статье подразумевается равенство понятий функция и сигнал.
P.P.S. Уровень статьи рассчитан на широкую аудиторию.